力扣算法题 - 5 - 最长回文子串 - 算法 - Java - 计算机科学 | Chrono Cross = 沉鱼的博客 = 了解自我，超越自我

# 最长回文子串

给你一个字符串 s ，找到 s 中最长的回文子串。

如果字符串的反序与原始字符串相同，则该字符串称为回文字符串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

提示：

思路：

动态规划

对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道 “bab” 是回文串，那么 “ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是 “a”。

根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用 P (i,j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成 s [i:j]）是否为回文串：

是回文串其它情况这里的「其它情况」包含两种可能性：

那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程：

也就是说，只有 s [i+1:j−1] 是回文串，并且 s 的第 i 和 j 个字母相同时，s [i:j] 才会是回文串。

上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2 的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 P (i,j)=true 中 j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

代码：

	public class Solution {

	public String longestPalindrome(String s) {
	int len = s.length();
	if (len < 2) {
	return s;
	}

	int maxLen = 1;
	int begin = 0;
	//dp [i][j] 表示 s [i..j] 是否是回文串
	boolean[][] dp = new boolean[len][len];
	// 初始化：所有长度为 1 的子串都是回文串
	for (int i = 0; i < len; i++) {
	dp[i][i] = true;
	}

	char[] charArray = s.toCharArray();
	// 递推开始
	// 先枚举子串长度
	for (int L = 2; L <= len; L++) {
	// 枚举左边界，左边界的上限设置可以宽松一些
	for (int i = 0; i < len; i++) {
	// 由 L 和 i 可以确定右边界，即 j - i + 1 = L 得
	int j = L + i - 1;
	// 如果右边界越界，就可以退出当前循环
	if (j >= len) {
	break;
	}

	if (charArray[i] != charArray[j]) {
	dp[i][j] = false;
	} else {
	if (j - i < 3) {
	dp[i][j] = true;
	} else {
	dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
	}
	}

	// 只要 dp [i][L] == true 成立，就表示子串 s [i..L] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
	if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLen) {
	maxLen = j - i + 1;
	begin = i;
	}
	}
	}
	return s.substring(begin, begin + maxLen);
	}
	}

复杂度分析:

时间复杂度：O (n2)，其中 n 是字符串的长度。

动态规划的状态总数为 O (n2)，对于每个状态，我们需要转移的时间为 O (1)。

空间复杂度：O (n2)，即存储动态规划状态需要的空间。

我们仔细观察一下方法一中的状态转移方程：

找出其中的状态转移链：

可以发现，所有的状态在转移的时候的可能性都是唯一的。也就是说，我们可以从每一种边界情况开始「扩展」，也可以得出所有的状态对应的答案。

边界情况即为子串长度为 1 或 2 的情况。我们枚举每一种边界情况，并从对应的子串开始不断地向两边扩展。如果两边的字母相同，我们就可以继续扩展，例如从 P (i+1,j−1) 扩展到 P (i,j)；如果两边的字母不同，我们就可以停止扩展，因为在这之后的子串都不能是回文串了。

聪明的读者此时应该可以发现，「边界情况」对应的子串实际上就是我们「扩展」出的回文串的「回文中心」。方法二的本质即为：我们枚举所有的「回文中心」并尝试「扩展」，直到无法扩展为止，此时的回文串长度即为此「回文中心」下的最长回文串长度。我们对所有的长度求出最大值，即可得到最终的答案。

代码：

	class Solution {
	public String longestPalindrome(String s) {
	if (s == null \|\| s.length() < 1) {
	return "";
	}
	int start = 0, end = 0;
	for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
	int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
	int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
	int len = Math.max(len1, len2);
	if (len > end - start) {
	start = i - (len - 1) / 2;
	end = i + len / 2;
	}
	}
	return s.substring(start, end + 1);
	}

	public int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
	while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
	--left;
	++right;
	}
	return right - left - 1;
	}
	}